随机变量《随机过程》教科书下册对变量给出了等反常问题

随机变量与变量是两个内涵与外延完全不同的数学概念。

本文分析了《随机过程》教科书在研究质点随机运动过程时，混淆了随机变量与变量之间的区别，隐含了违反同一律的逻辑错误，导致《随机过程》研究对象从变量（一个变化过程）改变为随机变量（多个变化过程），因而出现了一系列理论与经验事实不符和逻辑上不能自洽等反常问题。

一、变量

人教版《数学》八年级下册对变量给出了如下定义：

在一个变化过程中，我们把数值发生变化的量叫做变量。

一般地，在一个变化的过程中，有两个变量 x 和 t ，如果 x 随 t 的变化而变化，我们就说 t 是自变量，x 是因变量随机变量，并用时间函数 x(t) 描述这一变化过程。

二、随机变量与随机过程

自然界的事物变化过程可以分成两大类：确定过程和随机过程。

确定过程具有确定性的变化规律，每次试验观察到的变化过程完全相同，所有试验结果可用同一个时间函数 x(t) 描述。

随机过程没有确定性的变化规律，每次试验观察到的变化过程均不相同。 n 次试验会观察到 n 个变化过程（图1）随机变量， n 次试验结果要用 n 个不同的时间函数x_{1}(t),x_{2}(t),cdotcdotcdot ,x_{n}(t)进行描述。

图1 随机过程试验结果与随机过程定义

《随机过程》教科书将随机过程试验的所有结果（所有变化过程）映射到样本空间 Omega ，然后用二元函数 X(omega,t) 来定义随机过程（图1）。

固定 omega ， X(omega,t) 是时间 t 的函数，称为样本函数或样本轨道，记为 x(t) 。一个样本函数 x(t) 对应着随机试验中的一次变化过程，因此样本函数 x(t) 也被称为随机过程 X(omega,t) 的一个“物理实现”。显然，样本函数 x(t) 的总体或集合就构成随机过程 X(omega,t) 。

固定 t ， X(omega,t) 是样本点 omega 的函数，称为随机变量，记为 X(t) 。随机试验所有变化过程在 t 时刻的取值x_{1}(t),x_{2}(t),cdotcdotcdot ,x_{n}(t)就是随机变量 X(t) 在 t 时刻的状态。

从变量和随机变量的定义可以看出：变量描述的是随机过程 X(omega,t) 中的一个变化过程 x(t) ，随机变量描述的是随机过程 X(omega,t) 中的所有变化过程{ x(t) }。

随机变量 X(t) 在 t 时刻的取值，就是所有变量x_{1}(t),x_{2}(t),cdotcdotcdot ,x_{n}(t)在 t 时刻的函数值，即 X(t)= {x_{1}(t),x_{2}(t),cdotcdotcdot ,x_{n}(t)}。表1给出了变量与随机变量的区别。

表1 变量与随机变量的区别

三、《随机过程》教科书违反同一律的逻辑错误分析

以布朗运动定义为例，说明《随机过程》违反同一律的逻辑错误。

设 x(t) 为一个布朗粒子在 t 时刻的位移， x(0)=0 ，若

（1） x(t) 为平稳独立增量过程；

（2） x(t)sim N(0,sigma^{2}t) ，其中 0R43;>sigma >0 为常数；

（3） x(t) 是 t 的连续函数。

则称 x(t) 是参数为 sigma^{2} 的布朗运动，或维纳过程。

图2为布朗运动定义逻辑错误分析。布朗运动定义中的被定义项 x(t) 为变量，但是布朗运动定义中的定义项却用随机变量和变量这两个完全不同的数学概念来描述同一对象 x(t) ，从而违反同一律，出现了“ x(t) 是变量和 x(t) 是随机变量”的逻辑矛盾。

图2 布朗运动定义逻辑错误分析

四、结论

《随机过程》教科书在研究质点随机运动过程时，混淆了随机变量和变量这两个内涵与外延完全不同的数学概念”，隐含了违反同一律的逻辑矛盾，导致《随机过程》教科书的研究对象从变量（一个变化过程）改变为随机变量（多个变化过程），因而只能用随机变量的空间统计特性来描述样本函数的时间变化规律，出现了一系列理论与经验事实不符和逻辑上不能自洽等反常问题，《随机过程》即将面临一场库恩（Kuhn）在《科学革命的结构》书中所描写的重大范式危机和重大范式变革（图3），《随机过程》教科书中的错误方法和错误内容将会被新方法和新内容所取代，为中国的数学学科进入世界一流前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。

图3 《随机过程》范式危机与变革